Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Annotation

Евклид Александрийский — автор одного из самых популярных нехудожественных произведений в истории. Его главное сочинение — «Начала» — было переиздано тысячи раз, на протяжении веков по нему постигали азы математики и геометрии целые поколения ученых. Этот труд состоит из 13 книг и содержит самые важные геометрические и арифметические теории Древней Греции. Не меньшее значение, чем содержание, имеет и вид, в котором Евклид представил научное знание: из аксиом и определений он вывел 465 теорем, построив безупречную логическую структуру, остававшуюся нерушимой вплоть до начала XIX века, когда была создана неевклидова геометрия.

Josep Pla i Carrera

Введение

ГЛАВА 1

ГЛАВА 2

ГЛАВА 3

ГЛАВА 4

ГЛАВА 5

ГЛАВА 6

ГЛАВА 7

ГЛАВА 8

Эпилог

Список рекомендуемой литературы

Указатель

Josep Pla i Carrera

Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Наука. Величайшие теории: выпуск 14: Трехмерный мир. Евклид. Геометрия. / Пер. с итал. — М.: Де Агостини, 2015. — 168 с.

Еженедельное издание

ISSN 2409-0069

Евклид Александрийский — автор одного из самых популярных нехудожественных произведений в истории. Его главное сочинение — «Начала» — было переиздано тысячи раз, на протяжении веков по нему постигали азы математики и геометрии целые поколения ученых. Этот труд состоит из 13 книг и содержит самые важные геометрические и арифметические теории Древней Греции. Не меньшее значение, чем содержание, имеет и вид, в котором Евклид представил научное знание: из аксиом и определений он вывел 465 теорем, построив безупречную логическую структуру, остававшуюся нерушимой вплоть до начала XIX века, когда была создана неевклидова геометрия.

Посвящается Хуану Пуигу Виланова в память о его доброте, дружбе, поддержке и приверженности своей семье.

Введение

Говорить о Евклиде — значит говорить о геометрии и (хотя и совсем по-другому, как мы увидим) об арифметике Древней Греции. В частности — о результате синтеза исследований за три века в области математики. Термин «математа» (раб^ратос), восходящий к Пифагору, означает «то, что можно познать». Пифагорейская школа, основанная в V веке до н. э., выделяла четыре матемы, лежащие в основе научного знания и объясняющие «порядок и гармонию мира»: арифметику, геометрию, музыку и астрономию. Согласно выдающемуся пифагорейцу Архиту Тарентскому «математика есть сумма этих четырех матем» (в Средние века матемы составляли квадривиум, который вместе с дисциплинами тривиума — грамматикой, логикой и риторикой — образовывал «семь свободных искусств», основу университетской программы). В классической Греции, то есть с V до III века до н. э., термин «математа» был неразрывно связан с «философией» (фг^оаоф(а), что означает «любовь к мудрости» и указывает на определенную склонность к познанию.

В этой книге фигура Евклида и его великое произведение о геометрии «Начала» рассматриваются с точки зрения идеологии и методологии с целью проанализировать самые важные достижения древнегреческой математики. Как пишет философ-неоплатоник Прокл (его работы — один из основных источников сведений о трудах Евклида), основоположником этой науки был Фалес Милетский, родившийся в 624 году до н. э., один из «семи мудрецов» Древней Греции. Он же основал школу философии, которую часто называют милетской. Согласно Проклу, зарождение математики совпало с появлением в Древней Греции философской мысли в широком смысле слова.

Начинание Фалеса продолжил Пифагор Самосский, родившийся в 570 году до н. э. и основавший философско-мистическую школу, названную его именем. Он углубил понимание геометрии и сделал арифметику дедуктивной наукой. Оформилось различие между логистикой как практическим искусством счета (куда относилась геометрия как искусство измерения) и арифметикой как теорией чисел. Философские идеи пифагорейской школы оказали большое влияние на знаменитую Академию, основанную Платоном в 387 году до н. э. В ней обучался выдающийся математик Евдокс Книдский, хотя его связь с Академией трудно охарактеризовать (он был там и учеником, и учителем, и заместителем главы). Евдоксу мы обязаны двумя фундаментальными открытиями, о которых позже писал Евклид: теорией отношений, необходимой при доказательстве теоремы Фалеса о линиях и площадях, и методом исчерпывания, основой для вычисления площадей плоских фигур и объема трехмерных объектов.

В IV веке до н. э. оформились новые логические инструменты, созданные стоиками и Аристотелем, которые составляют основу текста Евклида. В частности, Аристотель сделал большой вклад в осознание понятия бесконечности, имеющего огромную важность и для пифагорейской арифметики, и для евклидовой геометрии, в особенности фундаментального постулата о параллельных прямых. «Начала» являются продолжением и синтезом трудов предшественников. Этот шедевр ознаменовал новую эпоху в развитии древнегреческой математики, главным образом геометрии. Другие важнейшие работы в области геометрии, астрономии или арифметики, такие как «Великое математическое построение по астрономии в тринадцати книгах» (или «Альмагест») Клавдия Птолемея, «Арифметика» Диофанта, «Математическое собрание» Паппа, унаследовали его дедуктивный стиль. Но влияние Евклида этим не исчерпывается. Историк Карл Бойер назвал «Начала» самым важным текстом в истории, подсчитав, что только Библия превосходит его по числу переизданий (их было около тысячи). Этот труд изучали Декарт и Ньютон, и такие произведения как «Первоначала философии» и «Математические начала натуральной философии», написанные спустя почти 2000 лет после «Начал», повторяют его структуру. Вполне вероятно, что это самый важный труд по математике, который когда-либо был написан.

Рассказывая о биографии Евклида, невозможно обойтись без анализа «Начал» и через них — анализа результатов развития древнегреческой математики и философии, собранных в этом сочинении. Самое большое влияние на ученого оказали платоновская и аристотелевская школы. Синтезом их математических исследований и можно считать «Начала». Хотя некоторые авторы считают, что влияние Платона сильнее, структура текста абсолютно аристотелевская. Разумеется, нельзя забывать о вкладе в геометрию Теэтета, Феодора и Евдокса, как и о построении Платоновых тел, о котором говорится в конце этой книги. Мы проанализируем самые важные постулаты — одни из них непосредственно записаны в тексте, другие подразумеваются, — а также эпистемологическую и методологическую необходимость их появления для текста Евклида. Мы увидим, какое влияние имело аристотелевское определение границ, или, если угодно, ограничение бесконечности и какие последствия оно оказало на последующие исследования.

Еще одна центральная тема книги — вопрос о существовании геометрических объектов с философской и методологической точек зрения. Мы подробно рассмотрим вопрос о квадратуре круга — одну из важнейших задач, доставшихся нам в наследство от древнегреческой математики. В связи с этим поговорим о великом Архимеде и других выдающихся деятелях античной науки: Аполлонии, Птолемее, Диофанте, Паппе, Прокле. Наконец, мы рассмотрим арифметические вкрапления, взятые у пифагорейцев, которые встречаются в VII, VIII и IX книгах Евклида.

В следующей таблице приводятся символы, которыми в тексте обозначаются отрезки, углы, треугольники; плоские фигуры с тремя, четырьмя или более сторонами: треугольники, квадраты, прямоугольники; окружности (кривая, образованная точками, равноудаленными от центра О) и круги (площадь, ограниченная окружностью).

Символы, использующиеся в тексте, и их значение

АВ

Прямой отрезок, соединяющий точки А и В

<АВС